''Zenith'' on line

Periodico di Astronomia di base a cura del
Centro Astronomico "Neil Armstrong" - Salerno

Numero 16

Vettori a massa variabile

di Andrea Mattei



I satelliti artificiali costituiscono una risorsa ormai irrinunciabile per la società moderna: dai satelliti per le telecomunicazioni, a quelli meteorologici, per il telerilevamento od anche quelli scientifici come il telescopio spaziale Hubble, moltissime attività umane si servono ormai di questi preziosi alleati.

Non è però così semplice portare un satellite artificiale al di fuori dell'atmosfera terrestre e porlo in orbita attorno al nostro pianeta: bisogna infatti vincere l'attrazione gravitazionale esercitata su di esso dalla Terra, e per farlo è necessario un vettore.

Comunemente viene definito razzo-vettore ogni veicolo impiegato per accelerare un certo carico fino alla velocità e all'altitudine di satellizzazione o di evasione dall'orbita terrestre. Per quanto riguarda le prestazioni, un razzo vettore viene caratterizzato dalla massa del carico utile, dall'altezza che deve raggiungere e dalla velocità che deve imprimere; se poi il carico utile comprende anche la presenza di uomini allora il vettore non deve accelerare eccessivamente, in quanto l'equipaggio ne risentirebbe. Questa limitazione, tuttavia, si può presentare anche se il satellite trasportato è particolarmente delicato e non può sopportare forti accelerazioni.

Per vincere la forte attrazione gravitazionale alla quale siamo costantemente sottoposti abbiamo bisogno di spinte enormi, che diventano tanto più grandi quanto più grande è la massa del vettore, che è costituita dalla massa del carico utile, dal combustibile e dalla struttura stessa del vettore.
L'enorme spinta è attualmente ottenuta attraverso l'uso della propulsione a reazione, espressa dalla terza legge della dinamica formulata da Isaac Newton: il cosiddetto principio di azione-reazione. Tale propulsione si realizza apportando un aumento della quantità di moto ad un fluido, in modo che esso subendo una spinta reagisce con una spinta uguale e contraria sul veicolo propellendolo avanti e variandone la quantità di moto dello stesso valore.

La quantità di moto di un oggetto è definita come il prodotto della massa dell'oggetto per la sua velocità. Detta Me la massa dei gas espulsi alla velocità Ve, allora la parte restante Mr si muoverà in senso contrario in modo che:

Questa relazione esprime l'uguaglianza della quantità di moto dei gas espulsi e del veicolo e da essa si deduce che:

Per un razzo la massa Me espulsa sarà la massa dei gas prodotti dalla combustione del propellente.

Nel 1903 il grande Konstantin Tsiolkovskij ottenne la formula che mette in relazione la velocità di espulsione dei gas di scarico con la velocità finale del razzo Vf, la massa iniziale Mi e finale Mf:
con e=2,7182818...

Il termine Mi/Mf viene definito rapporto di massa.
Purtroppo quest'ultimo interviene attraverso il suo logaritmo e perciò varia molto lentamente; dire che il rapporto di massa è uguale a 2 significa che la massa di propellente eiettabile rappresenta il 50% della massa iniziale Mr, se è uguale a 4 la massa del propellente (Mi-Mf) è del 75% e se è 10 sarà il 90%.
In generale, se

il rapporto massa propellente/massa iniziale

Per aumentare la velocità finale si può accrescere il rapporto di massa e/o aumentare la velocità di efflusso dei gas di scarico. Nel primo caso si tratta di aumentare, a parità di carico utile, la quantità di propellente, e poiché il propellente costituisce a sua volta un carico da trasportare, oltre un certo limite, questo vantaggio si vanifica. L'aumento della velocità dei gas di scarico, invece, non presenta limitazioni concettuali, ma l'energia ottenibile dalle reazioni chimiche non è illimitata e quindi si intuisce subito quale sia il limite teorico della propulsione chimica. Attualmente con i propellenti chimici più energetici si realizzano velocità di efflusso di circa 4000 m/s, che ci forniscono un rapporto di massa pari a circa 16. Ciò in buona sostanza significa che la massa iniziale del razzo deve essere almeno 16 volte più grande di quella finale, se lo scopo del lancio è evadere dalla Terra (come sappiamo, la velocità di fuga è di 11,2 Km/s).

Per comprendere meglio questo aspetto immaginiamo di voler evadere dalla Terra con un unico razzo. Per farlo bisogna raggiungere la velocità minima di evasione che è pari a 11.200 m/s; per conoscere il rapporto di massa necessario possiamo far uso della precedente formula:

che, con una velocità di efflusso pari a 3500 m/s, fornisce un valore di 24,5.

Da ciò si deduce che, se la massa iniziale del razzo fosse di 24500 kg, ben 23500 kg dovrebbero essere di propellente ed è immediato capire come la cosasia conveniente in quanto la massa iniziale dovrebbe

Apollo-Saturn V
Il Saturn V, vettore del progetto Apollo che portò l'uomo sulla Luna, era un razzo a 3 stadi.

comprendere quasi solo propellente e rimarrebbero solo 1000 kg per il carico utile, il complesso di strutture ed il motore!!!
La spiegazione risiede nel fatto che il serbatoio diventa inutile man mano che questo si svuota,. contravvenendo così al principio primo dell'astronautica "di non portare nessun peso morto un minuto più del necessario".

Il razzo perfetto è, dunque, il razzo a sigaretta nel quale le parti rese inutili possono essere usate come combustibile.
In pratica però, si è pensato di realizzare veicoli formati da una serie di razzi nei quali è ripartita la massa totale del propellente. Secondo questa tecnica, quando il primo stadio, una volta esaurito tutto il suo propellente, si stacca dal resto del vettore e viene abbandonato, col vantaggio che si perde oltre alla massa del combustibile anche quella del serbatoio, dei motori e della struttura componente tutto il primo stadio.
Dopo il distacco, il resto del razzo viene fatto proseguire per inerzia per un certo tempo, poi entra in funzione il motore del secondo stadio che si comporterà esattamente come il primo e così via fino all'ultimo stadio: in questo modo si possono realizzare rapporti di massa elevati consentendo un incremento notevole della velocità finale. Con ulteriori stadi si ottengono perciò conseguenti incrementi di velocità, ma questioni tecniche ed economiche limitano il numero ottimale degli stadi a tre o quattro al massimo; a scopo sperimentale tuttavia si sono lanciati anche razzi a otto stadi.
Con la tecnica dei vettori polistadio la variazione di velocità dell'ultimo stadio risulta essere la somma delle variazioni di velocità realizzate da ciascun stadio.

Per un razzo che parta da Terra la velocità finale è inferiore alla velocità calcolata con la formula prima descritta., in quanto la formula di Tsiolkovskij è rigorosamente valida nelle ipotesi di assenza di resistenza aerodinamica e di gravità, condizioni che si realizzano solo in orbita attorno ad un astro.
Tenendo conto invece di questi parametri si ha:

dove g è l'accelerazione di gravità, t il tempo durante il quale si esercita la spinta, Vr è la perdita di velocità dovuta alla resistenza aerodinamica, ed a rappresenta l'angolo di salita del razzo.
Da un punto di vista energetico la partenza più conveniente dovrebbe avvenire in direzione orizzontale, ma considerazioni aerodinamiche legate all'influenza sul moto da parte dell'atmosfera fanno sì che la fase iniziale della salita debba essere rigorosamente verticale per attraversare gli stati più densi dell'atmosfera stessa nel minor tempo possibile. Dopo un certo numero di km, a causa della rarefazione atmosferica, la traiettoria potrà mutare direzione fino a raggiungere l'angolazione desiderata.
Questa semplicità è comunque mistificante; infatti la resistenza aerodinamica dipende da diversi fattori quali la densità dell'atmosfera, che varia in funzione dell'altezza, dalla velocità e dalla forma del veicolo.
La soluzione del problema si ottiene facendo uso di elaboratori elettronici; non esiste, infatti, la soluzione analitica data la complessità del termine rappresentante la resistenza aerodinamica.